已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2．一条斜率为1的直线经过双曲线的右焦点与双曲线相交于A、B两点，以AB为直径的圆与双曲线的右准线相交于M、N．（1）若双曲线的离心率2

Question

已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2．一条斜率为1的直线经过双曲线的右焦点与双曲线相交于A、B两点，以AB为直径的圆与双曲线的右准线相交于M、N．
（1）若双曲线的离心率2，求圆的半径；
（2）设AB中点为H，若

HM

•

HN

＝−(16)/(3)，求双曲线方程．

Answer 1

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)
由题知：a＝1，(c)/(a)＝2，∴c＝2，∴b2＝c2−a2＝3
∴双曲线方程为x2−(y2)/(3)＝1右焦点F（2，0）
故直线l的方程为y=x-2代入x2−(y2)/(3)＝1中得：2x²+4x-7=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1−x2＝−2，x1•x2＝−(7)/(2)
∴|AB|＝√(2)•√((x1+x2)2−4x1x2)＝6
∴半径r=3

（2）设双曲线方程为x2−(y2)/(c2−1)＝1，将y＝x−c代入并整理得（c²-2）x²+2cx-2c²+1=0，
由韦达定理：x1+x2＝(2c)/(2−c2)，x1x2＝(1−2c2)/(2−c2)
设H(x0，y0)，则x0＝(1)/(2)(x1+x2)＝(c)/(2−c2)y0＝x0−c＝(c3−c)/(2−c2)
设圆半径为R且

HM

与

HN

的夹角为θ，
则R2cosθ＝−(16)/(3)R＝(1)/(2)|AB|＝(√(2))/(2)•√((x1+x2)2−4x1x2)＝2|(c2−1)/(c2−2)|
∴cos(θ)/(2)＝(x0−(1)/(c))/(R)＝(1)/(c)
∴cosθ＝2cos2(θ)/(2)−1＝(2−c2)/(c)代入R2cosθ＝−(16)/(3)中
得：c²=3，
∴所求的双曲线方程为x2−(y2)/(2)＝1．