正方形ABCD,E是BC边上一点,直角DCB外角平分线CF与EF相交于F,AE=EF求证AE⊥EF

Question

正方形ABCD,E是BC边上一点,直角DCB外角平分线CF与EF相交于F,AE=EF求证AE⊥EF

Answer 1

证明：取AB的中点H,连接EH；
∵∠AEF=90°,
∴AE⊥EF,
∵ABCD是正方形,
∴∠1+∠AEB=90°,∠2+∠AEB=90°,
∴∠1=∠2,
∵E是BC的中点,H是AB的中点,
∴BH=BE,AH=CE,
∴∠BHE=45°,
∵CF是∠DCG的角平分线,
∴∠FCG=45°,
∴∠AHE=∠ECF=135°,
在△AHE和△ECF中,
∠1=∠2,AH=EC,∠AHE=∠ECF（角边角）
∴△AHE≌△ECF（ASA）,
∴AE=EF