在xOy坐标平面上,连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于x,求L的方程

Question

在xOy坐标平面上,连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于x,求L的方程

Answer 1

设曲线L方程为y=f(x),
曲线过点M(1,0),则f(1)=0
曲线在任意点P(x,y)的斜率为y'=f'(x)
直线OP的斜率为k=y/x
由题意,斜率之差为x,则有 y'-y/x=x
相当于解微分方程 y'/x-y/x^2=1
(y/x)'=y'/x-y/x^2=1
∴ y/x=x+C
y=f(x)=x^2+Cx
由初始条件f(1)=0可得
1+C=0 => C=-1
∴ y=f(x)=x^2-x
即曲线L的方程为y=x^2-x