证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍．把条件改写一下：已知AD、BE为△ABC的两高线，其交点为H，OM、ON分别为BC、CA的中垂线且交于O．须证：AH=2OM，BH=2ON．

Question

证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍．
把条件改写一下：已知AD、BE为△ABC的两高线，其交点为H，OM、ON分别为BC、CA的中垂线且交于O．须证：AH=2OM，BH=2ON．

Answer 1

证明：
方法一：（中位线定理）取AH、BH中点F、G，
连接FG，则FG∥AB，FG=(1)/(2)AB．
连接MN，则MN∥FG，MN=(1)/(2)AB．故MN∥FG．
因FD⊥BC，OM⊥BC，故FD∥OM，即FH∥OM．从而∠HFG=∠OMN．
同理∠HCF=∠ONM．于是△HFG∽△OMN．
∴OM=FH=(1)/(2)AN，ON=GH=(1)/(2)BH．
即AH=2OM，BH=2ON．
方法二：（中位线定理）连接CH，取CH中点F，连接NF、MF，则NF∥(1)/(2)AH，
同理MF∥(1)/(2)BH，但BE∥ON（因BE、ON同垂直于BC）．故MF∥ON．
同理NF=OM．从而OMFN是平行四边形．于是OM=NF=(1)/(2)AH．
即AH=2OM，BH=2ON．
方法三：（利用相似），连接MN，则MN∥AB，MN=(1)/(2)AB．
因AD∥OM（AD、OM同垂直于BC），BE∥ON．
故△ABH∽△MNO，(AH)/(OM)＝(BH)/(ON)＝(AB)/(NM)＝(2)/(1)．
于是AH=20M，BH=20N．