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在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BD是∠ABC的角平分线,交AC于点D,CE⊥AB于点E,交BD于点O,过O点作FG∥AB,交BC于点F,交AC于点G.求证:CD=GA.
题目详情
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BD是∠ABC的角平分线,交AC于点D,CE⊥AB于点E,交BD于点O,过O点作FG∥AB,交BC于点F,交AC于点G.
求证:CD=GA.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752814-7517.jpg)
求证:CD=GA.
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▼优质解答
答案和解析
证明:∵BD平分∠ABC,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752814-5545.jpg)
∴∠1=∠2,
∵∠BCD=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠BEO=90°,
∴∠2+∠4=90°
∴∠3=∠4,
∵∠4=∠5,
∴∠3=∠5,
∴OC=DC,
过点D作DH⊥AB于H,
∵BD平分∠ABC,DH⊥AB于H,DC⊥BC于C,
∴DC=DH,
∵DC=OC,
∴OC=DH,
∵FG∥AB,
∴∠6=∠A,
∵DH⊥AB,CE⊥AB,
∴DH∥CE,
∴∠ADH=∠GCE,
∵在△COG和△DHA中
∴△COG≌△DHA,
∴CG=DA,
∴CG-CD=DA-DG,
即CD=AG.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752814-5545.jpg)
∴∠1=∠2,
∵∠BCD=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠BEO=90°,
∴∠2+∠4=90°
∴∠3=∠4,
∵∠4=∠5,
∴∠3=∠5,
∴OC=DC,
过点D作DH⊥AB于H,
∵BD平分∠ABC,DH⊥AB于H,DC⊥BC于C,
∴DC=DH,
∵DC=OC,
∴OC=DH,
∵FG∥AB,
∴∠6=∠A,
∵DH⊥AB,CE⊥AB,
∴DH∥CE,
∴∠ADH=∠GCE,
∵在△COG和△DHA中
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∴△COG≌△DHA,
∴CG=DA,
∴CG-CD=DA-DG,
即CD=AG.
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