在直二面角α-AB-β的棱AB上取一点P，过P分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC、PD，那么∠CPD的大小为（）A．45°B．60°C．120°D．60°或120°

Question

在直二面角α-AB-β的棱AB上取一点P，过P分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC、PD，那么∠CPD的大小为（　　）

A．45°
B．60°
C．120°
D．60°或 120°

Answer 1

如图，
当两斜线PC，PD同向时，在PC上取点C，过C作CG⊥AB于G，
在平面β内过G作GD⊥AB，交PD于D，连结CD．
∵二面角α-AB-β为直二面角，∴CG⊥β，则CG⊥GD．
在Rt△CGP中，∵∠CPG=45°，设CG=a，则PG=a，∴PC=√(2)a．
在Rt△DGP中，∵∠DPG=45°，∴DG=PG=a，则PD=√(2)a．
在Rt△DGC中，∵CG=DG=a，∴CD=√(2)a．
∴△PCD是等边三角形，∴PC和PD所成角为60°；
如图，
当两斜线PC，PD异向时，在PC上取点C，过C作CG⊥AB于G，
在PD上取点D，使PD=√(2)CG，连结CD，
∵二面角α-AB-β为直二面角，∴CG⊥β，则CG⊥GD．
设CG=a，在Rt△CGP中，∵∠CPG=45°，∴PG=a，则PC=√(2)a，
PD=√(2)CG=√(2)a，∵∠BPD=45°，∴∠DPG=135°．
在△DPG中，GD²=PG²+PD²-2PG•PDcos135°
=a2+2a2−2•a•√(2)a•(−(√(2))/(2))=5a²．
∴CD²=CG²+GD²=a²+5a²=6a²．
在△DPC中，cos∠DPC＝(PD2+PC2−CD2)/(2PC•PD)＝(2a2+2a2−6a2)/(2•√(2)a•√(2)a)＝−(1)/(2)．
∴∠DPC=120°．
∴PC和PD所成角为120°．
所以∠CPD的大小为60°或120°．
故选D．