在三角形ABC中,AB=8,AC=4,过BC的中点M作DM上BC,交角BAC的平分线于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求AE的长.

Question

在三角形ABC中,AB=8,AC=4,过BC的中点M作DM上BC,交角BAC的平分线于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,
求AE的长.

Answer 1

因为DE⊥AB,DF⊥AC
所以DE=DF
又因为AD平分角BAC
所以有两个角相等,证△AED≌△AFD（SAS）
得AE=AF
延长AF到点G,其中FG=BE
因为AB=AE+BE,AG=AF+FG
所以AB=AG=8,再利用刚才的一组相等的角,证△ABD≌△AGD（SAS）
所以BD=GD
因为DM⊥BC,M是BC的中点
所以DM垂直平分BC
所以BD=CD
所以GD=CD=BD
所以△CDG是等腰三角形
又因为DF⊥AC
所以DF是△CDG的中线
所以CF=FG,即CG=2FG
因为AC+CG=AG=8
所以CG=AG-AC=4
所以2FG=CG=4,FG=2
所以BE=FG=2（之前已经说明了）
所以AE=AB-BE=6