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如图,▱ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于M、N.(1)求证:四边形CMAN是平行四边形.(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.
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如图,▱ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于M、N.
(1)求证:四边形CMAN是平行四边形.
(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.
(1)求证:四边形CMAN是平行四边形.
(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,
∵AM⊥BD,CN⊥BD,
∴AM∥CN,
∴CM∥AN,AM∥CN,
∴四边形AMCN是平行四边形.
(2)∵四边形AMCN是平行四边形,
∴CM=AN,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,CD∥AB,
∴DM=BN,∠MDE=∠NBF,
在△MDE和△NBF中,
,
∴△MDE≌△NBF,
∴ME=NF=3,
在RT△DME中,∵∠DEM=90°,DE=4,ME=3,
∴DM=
=
=5,
∴BN=DM=5.
∴CD∥AB,
∵AM⊥BD,CN⊥BD,
∴AM∥CN,
∴CM∥AN,AM∥CN,
∴四边形AMCN是平行四边形.
(2)∵四边形AMCN是平行四边形,
∴CM=AN,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,CD∥AB,
∴DM=BN,∠MDE=∠NBF,
在△MDE和△NBF中,
|
∴△MDE≌△NBF,
∴ME=NF=3,
在RT△DME中,∵∠DEM=90°,DE=4,ME=3,
∴DM=
DE2+ME2 |
32+42 |
∴BN=DM=5.
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