（2014•南开区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=-32x+b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．（Ⅰ）若直线y=-32x+b

Question

（2014•南开区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=-(3)/(2)x+b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（Ⅰ）若直线y=-(3)/(2)x+b过矩形OABC对角线交点，求b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当直线y=-(3)/(2)x+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当直线y=-(3)/(2)x+b沿y轴向______平移

(9)/(4)

(9)/(4)

个单位长度时，将矩形OABC沿平移后的直线折叠，带你O恰好落在边BC上．

Answer 1

（Ⅰ）∵直线y=(3)/(2)x+b必过矩形的中心，
由题意得矩形的中心坐标为（6，3），
∴3=(3)/(2)×6+b
解得b=12．
（Ⅱ）假设存在ON平分∠CNM的情况，
过O作OH⊥PM于H，
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
∴OH=OC=6
由（Ⅰ）知OP=12，
∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=4√(3)
当y=0时，由(3)/(2)x+12=0解得x=8，
∴OD=8
∴DM=8-4√(3)．
（Ⅲ） 设沿直线y=(3)/(2)x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处
连结PO′、OO′，则有P′O′=OP′=a
由题意得：CP′=a-6，∠OPD=∠CO′O
在Rt△OPD中，tan∠OPD=(OD)/(OP)
在Rt△OCO′中，tan∠CO′O=(OC)/(O′C)，
∴(OD)/(OP)=(OC)/(O′C)，(8)/(12)=(6)/(O′C)，
解得O′C=9
在Rt△CP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²
解得a=(39)/(4)，12-(39)/(4)=(9)/(4)，
所以将直线y=-(3)/(2)x+12沿y轴向下平移(9)/(4)个单位得直线y=-(3)/(2)x+(39)/(4)，将矩形OABC沿直线y=-(3)/(2)x+(39)/(4)折叠，点O恰好落在边BC上．