如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上

Question

如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB=4 ， AD=12 ，将矩形纸片折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE ，此时 PD=3 ．

（ 1 ）求 MP 的值；

（ 2 ）在 AB 边上有一个动点 F ，且不与点 A ， B 重合．当 AF 等于多少时， △MEF 的周长最小？

（ 3 ）若点 G ， Q 是 AB 边上的两个动点，且不与点 A ， B 重合， GQ=2 ．当四边形 MEQG 的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

　

　

 

Answer 1

       （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 为矩形，

∴CD=AB=4 ， ∠D=90° ，

∵ 矩形 ABCD 折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE ，

∴PD=PH=3 ， CD=MH=4 ， ∠H=∠D=90° ，

∴MP= =5 ；

（ 2 ）如图 1 ，作点 M 关于 AB 的对称点 M′ ，连接 M′E 交 AB 于点 F ，则点 F 即为所求，过点 E 作 EN⊥AD ，垂足为 N ，

∵AM=AD ﹣ MP ﹣ PD=12 ﹣ 5 ﹣ 3=4 ，

∴AM=AM′=4 ，

∵ 矩形 ABCD 折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE ，

∴∠CEP=∠MEP ，

而 ∠CEP=∠MPE ，

∴∠MEP=∠MPE ，

∴ME=MP=5 ，

在 Rt△ENM 中， MN= = =3 ，

∴NM′=11 ，

∵AF∥ME ，

∴△AFM′∽△NEM′ ，

∴ = ，即 = ，解得 AF= ，

即 AF= 时， △MEF 的周长最小；

（ 3 ）如图 2 ，由（ 2 ）知点 M′ 是点 M 关于 AB 的对称点，在 EN 上截取 ER=2 ，连接 M′R 交 AB 于点 G ，再过点 E 作 EQ∥RG ，交 AB 于点 Q ，

∵ER=GQ ， ER∥GQ ，

∴ 四边形 ERGQ 是平行四边形，

∴QE=GR ，

∵GM=GM′ ，

∴MG+QE=GM′+GR=M′R ，此时 MG+EQ 最小，四边形 MEQG 的周长最小，

在 Rt△M′RN 中， NR=4 ﹣ 2=2 ，

M′R= =5 ，

∵ME=5 ， GQ=2 ，

∴ 四边形 MEQG 的最小周长值是 7+5 ．