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阅读材料:邻边不相等的矩形纸片,剪去一个正方形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形,又余下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若

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阅读材料:
邻边不相等的矩形纸片,剪去一个正方形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形,又余下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若第n次操作余下的四边形是正方形,则称原矩形为n阶准正方形,
如图1,矩形ABCD中,若AB=1,BC=2,则矩形ABCD为1阶准正方形.
(1)理解与判断:
①如图2,矩形ABCD中,AB=1,BC=5,则矩形ABCD是______阶准正方形;
②如图3,将矩形ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F处,得到四边形ABFE.可以判断四边形ABFE的形状是______;
剪去四边形ABFE发现四边形EFCD的边长CF=1,CD=2,则原矩形ABCD是______阶准正方形;
(2)计算与探究:
①已知矩形ABCD的邻边长为1,a(a>1),且是3阶准正方形,则a的值是
4或2.5或
5
3
4
3
4或2.5或
5
3
4
3
(写出所有满足题意的a);
②已知矩形ABCD邻边长分别为m,n(m>n),满足m=2013n+r,n=8r,则矩形ABCD是______阶准正方形.
▼优质解答
答案和解析
(1)①由题意得,第一次操作应该减去一个边长为1的正方形,
∴就剩下一个长为4宽为1的矩形,再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形,就剩下一个长为3宽为1的矩形,再进行第三次操作减去一个边长为1的正方形,就剩下一个长为2宽为1的矩形,再进行第四次操作减去一个边长为1的正方形,则余下的就是一个边长为1正方形,
∴共操作4次.
∴这个矩形是4阶准正方形.

②∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称,
∴△AEB≌△FEB,
∴AE=FE,∠BFE=∠A.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABF=90°,
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°,
∴四边形ABFE为矩形.
∵AE=FE,
∴矩形ABFE为正方形;
∵再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形,则余下的就是一个边长为1正方形,
∴原矩形ABCD是2阶准正方形;

(2)①由题意,得
如图1,

∴a的值=4,
如图2,

∴a的值=2.5,
同理可得出:a=
5
3
4
3

∴a的值为4或2.5或
5
3
4
3

②由题意,得
∵m=2013n+r,n=8r,
∴是2013+(8-1)=2020阶准正方形.
故答案为:4;正方形,2;4或2.5或
5
3
4
3
;2020.
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