已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，OA=（-2，m），OB=（n，1），OC=（5，-1），且OA⊥OB，其中O为坐标原点．（1）求实数m，n的值；（2）设△OAC的重心为G，若存在实数λ，使OB=λOG

Question

已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，

OA

=（-2，m），

OB

=（n，1），

OC

=（5，-1），且

OA

⊥

OB

，其中O为坐标原点．
（1）求实数m，n的值；
（2）设△OAC的重心为G，若存在实数λ，使

OB

=λ

OG

，试求∠AOC的大小．

Answer 1

（1）由于A、B、C三点在一条直线上，则

AC

∥

AB

，
而

AC

＝

OC

−

OA

＝(7，−1−m)，

AB

＝

OB

−

OA

＝(n+2，1−m)，
∴7（1-m）-（-1-m）（n+2）=0，即9-5m+mn+n=0，
又

OA

⊥

作业帮用户 2017-11-07

问题解析

（1）由已知向量的坐标求出

AC

，

AB

的坐标，由

AC

∥

AB

列关于m，n的方程组，再由

OA

⊥

OB

得到关于m，n的另一方程组，联立后求得m，n的值；
（2）由△OAC的重心为G，结合

OB

=λ

OG

可知B为AC的中点，由中点坐标结合（1）中的结果得到m，n的值，得到

OA

，

OC

的坐标，然后代入平面向量的数量积公式求得∠AOC的大小．

名师点评

本题考点：

数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

考点点评：

本题考查了向量共线和向量垂直的坐标运算，考查了利用数量积公式求向量的夹角，解答此题的关键是由△OAC的重心为G，且

OB

=λ

OG

得到B为AC的中点，是中档题．

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