在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S．证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似．

Question

在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S．证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

设O₁，O₂，O₃是△APS，△BQP，
△CSQ的外心，作出六边形
O₁PO₂QO₃S后再由外
心性质可知
∠PO₁S=2∠A，
∠QO₂P=2∠B，
∠SO₃Q=2∠C．
∴∠PO₁S+∠QO₂P+∠SO₃Q=360°．
从而又知∠O₁PO₂+∠O₂QO₃+∠O₃SO₁=360°
将△O₂QO₃绕着O₃点旋转到△KSO₃，易判断△KSO₁≌△O₂PO₁，
同理可得△O₁O₂O₃≌△O₁KO₃．
∴∠O₂O₁O₃=∠KO₁O₃=(1)/(2)∠O₂O₁K
=(1)/(2)（∠O₂O₁S+∠SO₁K）
=(1)/(2)（∠O₂O₁S+∠PO₁O₂）
=(1)/(2)∠PO₁S=∠A；
同理有∠O₁O₂O₃=∠B．
故△O₁O₂O₃∽△ABC．