y^2=4x,F为焦点,A.B是抛物线上俩个点,且AF,BF成120度角,AB中点M在准线上的射影为M~,求MM~\AB的最小值

Question

y^2=4x,F为焦点,A.B是抛物线上俩个点,且AF,BF成120度角,AB中点M在准线上的射影为M~,求MM~\AB的最小值

Answer 1

设A到焦点距离为a,则A到准线的距离也为a
B到焦点的距离为b,则B到准线的距离也为b
则中点M到准线的距离MM’=（a+b)/2
AB对焦点的张角为120度 根据余弦定理可知
AB^2=a^2+b^2-2abcos120°=a^2+b^2+ab
所以(MM'/AB)^2=[（a+b)/2]^2/(a^2+b^2+ab)=1/4x[1+ab/(a^2+b^2+ab)]
=1/4x[1+1/(a/b+b/a+1)]
当a=b的时候a/b+b/a取到最小值2
此时(MM'/AB)^2=1/3
MM'/AB=(根号3)/3