给一组过定点的直线系和一个定圆咋样求直线系与圆的割线中点的轨迹呢直线y=kx与圆x^2+y^2-6x-4y+10=0相交于不同两点AB当k取不同值时求线段AB中点的轨迹方程

Question

给一组过定点的直线系和一个定圆 咋样求直线系与圆的割线中点的轨迹呢
直线y=kx 与圆x^2+y^2-6x-4y+10=0 相交于不同两点A B 当k 取不同值时 求线段AB中点的轨迹方程

Answer 1

记A(x1,y1),B(x2,y2)
把y=kx代入x^2+y^2-6x-4y+10=0,可以得到；
(1+k^2)x^2-(6+4k)x+10=0
x1+x2=(6+4k)/(1+k^2),y1+y2=(6+4k)*k/(1+k^2),
所以AB中点的轨迹方程为：x=(3+2k)/(1+k^2),y=(3k+2k^2)/(1+k^2)
这是个参数方程,可以发现(x-1.5)^2+(y-1)^2=13/4,
为一个圆,当然x在圆x^2+y^2-6x-4y+10=0内部取值
关于上述参数方程的简化过程,我们可以参照图像
记原点为O,圆为C,AB中点为D,有CD垂直AB,于是D必然在以OC为直径的圆上,轨迹为圆弧