在平面直角坐标系中，定点M（1，0），两动点A，B在双曲线x2-3y2=3的右支上，则cos∠AMB的最小值是（）A．−12B．12C．−13D．13

Question

在平面直角坐标系中，定点M（1，0），两动点A，B在双曲线x²-3y²=3的右支上，则cos∠AMB的最小值是（　　）

A．−(1)/(2)
B．(1)/(2)
C．−(1)/(3)
D．(1)/(3)

Answer 1

双曲线(x2)/(3)−y2=1右顶点为（√(3)，0）
过M（1，0）向双曲线引切线，
两条切线所夹的角为∠AMB最大角．
由余弦函数的性质知，当∠AMB最大时，cos∠AMB取最小值．
切点分别为A，B，
设切线的斜率为k，切线方程为y=k（x-1），
代入(x2)/(3)−y2＝1，得(x2)/(3)−k2(x−1)2＝1，
即（1-3k²）x²+6k²x-3k²-3=0，
△=36k⁴+12（k²+1）（1-3k²）=0
整理：1-2k²=0，k²=(1)/(2)，
设∠AMB=2θ，则∠AMx=θ
tanθ=(√(2))/(2)=|k|，
∴tan2θ=(2tanθ)/(1−tan2θ)
=(√(2))/(1−(1)/(2))=2√(2)．
∴sin2θ=(2√(2))/(3)，cos2θ=(1)/(3)
∴当∠AMB最大时，它的余弦值cos∠AMB的最小值为(1)/(3)．
故选：D．