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如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线DC,P点为优弧上一动点(不与A.C重合).(1)求∠APC与∠ACD的度数;(2)当点P移动到CB弧的中点时,求证:四边形OBPC是
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如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线DC,P点为优弧 上一动点(不与A.C重合). (1)求∠APC与∠ACD的度数; (2)当点P移动到CB弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱形. (3)P点移动到什么位置时,△APC与△ABC全等,请说明理由. |
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▼优质解答
答案和解析
(1)连接AC,如图所示: |
∵AC=2,OA=OB=OC= AB=2, ∴AC=OA=OC, ∴△ACO为等边三角形, ∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°, ∴∠APC= ∠AOC=30°, 又DC与圆O相切于点C, ∴OC⊥DC, ∴∠DCO=90°, ∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°; (2)连接PB,OP, ∵AB为直径,∠AOC=60°, ∴∠COB=120°,当点P移动到CB的中点时,∠COP=∠POB=60°, ∴△COP和△BOP都为等边三角形, ∴AC=CP=OA=OP,则四边形AOPC为菱形; (3)当点P与B重合时,△ABC与△APC重合,显然△ABC≌△APC; 当点P继续运动到CP经过圆心时,△ABC≌△CPA, 理由为: ∵CP与AB都为圆O的直径, ∴∠CAP=∠ACB=90°,在Rt△ABC与Rt△CPA中, , ∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL). |
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