在同一圆中,弓形面积是其所在圆面积的1/4,求弓形所对圆心角的大小

Question

在同一圆中,弓形面积是其所在圆面积的1/4,求弓形所对圆心角的大小

Answer 1

是132.14度
设弦AB上的圆心角是x弧度.
S弓形= S扇形AOB － S△AOB＝(1/4)S⊙
S扇形=LR/2 =xR^2/2
xR^2/2 -sin(x/2)Rcos(x/2)R =πR^2/4
x-2sin(x/2)cos(x/2)=π/2
x-sinx=π/2
x-π/2=cos(x-π/2) 设y=x-π/2 y=cosy
-----
利用级数把cosy展开,用逼近法求y
y=cosy=1-y^2/2! +y^4/4! -y^6/6!+...
先取近似值 y=1-(1/2)y^2 得y=√3 -1 =0.73205
y^4/4! =(1-√3)^4/24 =(7-4√3)/6 =0.01197
y^6/6!=(26-15√3)/720 =0.00021
-----
代入 y=1-y^2/2+0.01176
(y+1)^2=3.01176 求出更精确的 y=0.73544
(可以继续带入求更精确值)
弦心角 x=y+π/2=2.306弧度=132.14°