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若过点P(a,a)与曲线f(x)=xlnx相切的直线有两条,则实数a的取值范围是()A.(-∞,e)B.(e,+∞)C.(0,1e)D.(1,+∞)
题目详情
若过点P(a,a)与曲线f(x)=xlnx相切的直线有两条,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,e)
B. (e,+∞)
C. (0,
)1 e
D. (1,+∞)
▼优质解答
答案和解析
设切点为(m,mlnm),f(x)=xlnx的导数为f′(x)=1+lnx,
可得切线的斜率为1+lnm,
由切线经过点P(a,a),可得1+lnm=
,
化简可得
=
,(*),
由题意可得方程(*)有两解,
设g(m)=
,可得g′(m)=
,
当m>e时,g′(m)<0,g(m)递增;
当0<m<e时,g′(m)>0,g(m)递减.
可得g(m)在m=e处取得最大值
,
即有0<
<
,解得a>e.
故选:B.
可得切线的斜率为1+lnm,
由切线经过点P(a,a),可得1+lnm=
mlnm-a |
m-a |
化简可得
1 |
a |
lnm |
m |
由题意可得方程(*)有两解,
设g(m)=
lnm |
m |
1-lnm |
m2 |
当m>e时,g′(m)<0,g(m)递增;
当0<m<e时,g′(m)>0,g(m)递减.
可得g(m)在m=e处取得最大值
1 |
e |
即有0<
1 |
a |
1 |
e |
故选:B.
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