若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，e）B.（e，+∞）C.（0，1e）D.（1，+∞）

Question

若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（　　）

A. （-∞，e）

B. （e，+∞）

C. （0，

(1)/(e)）

D. （1，+∞）

Answer 1

设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，
可得切线的斜率为1+lnm，
由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=(mlnm-a)/(m-a)，
化简可得(1)/(a)=(lnm)/(m)，（*），
由题意可得方程（*）有两解，
设g（m）=(lnm)/(m)，可得g′（m）=(1-lnm)/(m2)，
当m>e时，g′（m）<0，g（m）递增；
当0<m<e时，g′（m）>0，g（m）递减．
可得g（m）在m=e处取得最大值(1)/(e)，
即有0<(1)/(a)<(1)/(e)，解得a>e．
故选：B．