（2014•河南）如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP=

Question

（2014•河南）如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP=______cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=

√(2)-1

√(2)-1

cm时，四边形AOBP是正方形．

Answer 1

（1）连接OA，AC
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°，
∴∠ACP=30°，
∵∠APO=30°
∴∠ACP=∠APO，
∴AC=AP，
∴△ACP是等腰三角形．

（2）
①DP=1，理由如下：
∵四边形AOBD是菱形，
∴OA=AD=OD，
∴∠AOP=60°，
∴OP=2OA，DP=OD．
∴DP=1，
②DP=√(2)−1，理由如下：
∵四边形AOBP是正方形，
∴∠AOP=45°，
∵OA=PA=1，OP=√(2)，
∴DP=OP-1
∴DP=√(2)−1．