关于抛物线的,抛物线外任意一点P,向抛物线引两切线.如果P点到两切点的距离相等,那么,P点一定在抛物线的对称轴上?最好能证明一下,

Question

关于抛物线的,
抛物线外任意一点P,向抛物线引两切线.
如果P点到两切点的距离相等,那么,P点一定在抛物线的对称轴上?
最好能证明一下,

Answer 1

设抛物线方程为：y=A*x^2+B*x+C,两切点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),其中 y1=A*x1^2+B*x1+C,y2=A*x2^2+B*x2+C；
切线斜率 y‘=2A*x+B,两切线方程分别是：y=y1+(2A*x1+B)*(x-x1),y=y2+(2A*x2+B)*(x-x2)；
联立切线方程求解可得交点：x=(x1+x2)/2；
交点到两切点的距离相等,即 |x1-x|/√(k1^2+1)=|x2-x|/√(k2^2+1),k1=2A*x1+B、k2=2A*x2+B是斜率；
因 |x1-x|=|x2-x|,故必须有 k1^2=k2^2,
抛物线切线斜率各点均不相同,若k1=k2,表示同一切线（切点）；若 k1=-k2,即 2A*x1+B=-(2A*x2+B),x1+x2=-B/(2A)；
交点 x=-B/(2A),该点一定位于抛物线对称轴上；