已知AB是圆O的直径，AP是圆O的切线，A是切点，BP与交于点C．（1）如图1，若AB=2，∠P=30°，求AP、AC、CP的长（2）如图2，若D为AP的中点，求证：直线CD是圆O的切线．

Question

已知AB是圆O的直径，AP是圆O的切线，A是切点，BP与交于点C．
（1）如图1，若AB=2，∠P=30°，求AP、AC、CP的长
（2）如图2，若D为AP的中点，求证：直线CD是圆O的切线．

Answer 1

（1）如图1，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
又∵AB是⊙O的直径，AP是切线，
∴∠BAP=90°．
∴∠BAC=∠P=30°（同角的余角相等）．
在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，
∴BP=2AB=2×2=4．BC=(1)/(2)AB=1，
由勾股定理，得AC=√(AB2−BC2)=√(3)，AP=√(BP2−AB2)=2√(3)．  
则CP=BP-BC=4-1=3；

（2）如图，连接OC、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠ACP=180°-∠BCA=90°．
在Rt△APC中，D为AP的中点，
∴CD=(1)/(2)AP．
∴∠4=∠3．
又∵OC=OA，
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠4=∠PAB=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．
即OC⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线．