求曲线y=1x2在横坐标为x0的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．

Question

求曲线y=(1)/(x2)在横坐标为x₀的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．

Answer 1

由导数的定义可得y′=-(2)/(x3)，
则过（x0，(1)/(x20)）点的切线方程为y−(1)/(x20)＝−(2)/(x30)(x−x0)，
由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A（(3)/(2)x₀，0），B（0，(3)/(x20)）．
则|AB|²=(9)/(4)

x

2 0

+(9)/(x40)＝(9)/(8)

x

2 0

+(9)/(8)

x

2 0

+(9)/(x40)≥3•

3

(9)/(8)

x

2 0

•(9)/(8)

x

2 0

•(9)/(x40)

＝(27)/(4)，
∴|AB|≥(3√(3))/(2)，当且仅当