求旋转抛物线z=2x^2+2y^2与柱面y=x^2的交线在对应于x=1点处的切线与法平面方程.

Question

求旋转抛物线z=2x^2+2y^2与柱面y=x^2的交线在对应于x=1点处的切线与法平面方程.

Answer 1

旋转抛物面 F=2x^2+2y^2-z ,柱面 G=x^2-y,
F'=4x,F'=4y,F'=-1,G'=2x,G'=-1,G'=0,
对应于 x=1 点处,y=1,z= 4,则 该点处两曲面的法向量分别为
{4,4,-1},{2,-1,0},切线向量是这两个法向量的向量积,是{1,2,12},
切线方程是 (x-1)/1=(y-1)/2=(z-4)/12,
法平面方程是 1(x-1)+2(y-1)+12(z-4)=0,即 x+2y+12z-51=0