∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确结论的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个

Question

∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确结论的个数是
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=90°+∠A；故①正确；
若△ABC是等边三角形，则三线合一，此时EF是△ABC的中位线；故②错误；
连接AO，过点O作OH⊥AB于H，
∴AO是△ABC的角平分线，
∵OD⊥AC，
∴OH=OD=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=AE•OH+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故③错误；
④∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠FOC=∠OCB，
∵∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=EO，CF=FO，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．故④正确．
故选B．