一个三角形的问题…………已知三角形ABC内切圆,外接圆半径分别是r,R,求证：OI=R（R-2r）其中O是外心,I是内心

Question

一个三角形的问题…………
已知三角形ABC内切圆,外接圆半径分别是r,R,求证：
OI=R（R-2r）
其中O是外心,I是内心

Answer 1

写错了吧,应该是OI^2=R（R-2r）
这是欧拉公式
设S,p是三角形ABC的面积与半周长,a,b,c是三角形ABC的三边长.根据三角形己知恒等式:
AI=√[bc(p-a)/p],AO=R,∠IAO=｜B-C｜/2,abc=4R*S=4R*p*r
cos[(B-C)/2]=(b+c)*√[(p-b)*(p-c)/(a^2*bc)]
在三角形AIO中,据余弦定理得:
IO^2=R^2+bc(p-a)/p-2R*√[bc(p-a)/p]*cos[(B-C)/2]
IO^2=R^2+bc(p-a)/p-2R*S(b+c)/(p*a)
IO^2=R^2+bc(p-a)/p-bc*(b+c)/(2p)
IO^2=R^2-abc/(2p)=R^2-2Rr=R*(R-2r)