（2002•浙江）如图，已知半圆O的直径AB=10，⊙O1与半圆O内切干点C，与AB相切干点D，（1）求证：CD平分∠ACB；（2）若AC：CB=1：3，求△CDB的面积S△CDB；（3）设AC：CB=x（x＞0），⊙O1的半径为y

Question

（2002•浙江）如图，已知半圆O的直径AB=10，⊙O₁与半圆O内切干点C，与AB相切干点D，
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若AC：CB=1：3，求△CDB的面积S_△CDB；
（3）设AC：CB=x（x＞0），⊙O₁的半径为y，请用含x的代数式表示y．

Answer 1

（1）证明：过点C作两圆外公切线MN；
∵AB与⊙O₁相切于点D，
∴∠MCD=∠ADC，∠MCA=∠ABC．
∵∠MCD=∠MCA+∠ACD，
∠ADC=∠ABC+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD，即CD平分∠ACB．

（2）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，AC²+CB²=AB²，即AC²+CB²=100
已知AC：CB=1：3，
解得AC=√(10)，CB=3√(10)；
S_△ACB=(1)/(2)AC•CB=(1)/(2)•√(10)•3√(10)＝15
(S△CDB)/(S△CDA)＝3
∴S_△CDB=(45)/(4)．

（3）已知AC：CB=x，AC²+CB²=100解得
AC=(10x)/(√(x2+1))，CB=(10)/(√(x2+1))，
过点C作CE⊥AB交AB于点E，S_△ABC=(1)/(2)AB•CE，
解得CE=(10x)/(x2+1)（x＞0）．
连接OO₁并延长，则必过切点C，连O₁D，则O₁D⊥AB，
∴CE∥O₁D，
∴(CE)/(y)＝(5)/(5−y)．
y=(10x)/((x+1)2)（x＞0）．