如图，⊙O1与⊙O2内切于点T，⊙O1的弦AT交⊙O2于点B，AP切⊙O2于点P，连接AO1、BO2．证明：BO2AO1+AB2AP2=1．

Question

如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点T，⊙O₁的弦AT交⊙O₂于点B，AP切⊙O₂于点P，连接AO₁、BO₂．证明：(BO2)/(AO1)+(AB2)/(AP2)=1．

Answer 1

证明：
∵⊙O₁、⊙O₂内切于点T，
∴O₁、O₂、T三点共线，
∵O₂B=O₂T，
∴∠T=∠O₂BT，
∵O₁A=O₁T，
∴∠T=∠O₁AT，
∴∠O₂BT=∠O₁AT，
∴BO₁∥AO₁，
∴(BO2)/(AO1)＝(TO2)/(TO1)，(AB)/(AT)＝(O1O2)/(TO1)，
∵AP²=AB•AT，
∴(BO2)/(AO1)+(AB2)/(AP2)＝(TO2)/(TO1)+(AB)/(AT)=(TO2)/(TO1)+(O1O2)/(TO1)=(TO1)/(TO1)=1．