已知点P到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的坐标为（x，y），求y-2x-1的取值范围；（Ⅲ）若点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0

Question

已知点P到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的坐标为（x，y），求(y-2)/(x-1)的取值范围；
（Ⅲ）若点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0），求|QA|²+|QC|²的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设点P（x，y），
∵点P到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍，
∴√((x+2)2+y2)=2√((x-1)2+y2)，即x²+y²-4x=0，
化简可得：（x-2）²+y²=4，
∴点P（x，y）的轨迹是以M（2，0）为圆心，2为半径的圆，
其轨迹方程为：（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）记K（1，2），则(y-2)/(x-1)可视为直线PK的斜率，
设直线PK的斜率为k，则直线PK的方程为：y-2=k（x-1），
即：kx-y+2-k=0，
由于点K在圆M外，当直线PK与圆M相切时有：(|2k+2-k|)/(√(1+k2))=2，
解得：k=0或k=(4)/(3)，
∴k的取值范围为：k∈[(4)/(3)，+∞）∪（-∞，0]，
∴(y-2)/(x-1)的取值范围为：（-∞，0]∪[(4)/(3)，+∞）；
（Ⅲ）由题可得，点Q的轨迹是以N（2，2）为圆心，2为半径的圆N，
设Q（2+2cosθ，2+2sinθ），
则|QA|²=（2+2cosθ+2）²+（2+2sinθ）²=24+16cosθ+8sinθ，
|QC|²=（2+2cosθ-3）²+（2+2sinθ）²=9-4cosθ+8sinθ，
∴|QA|²+|QC|²=33+12cosθ+16sinθ=33+20sin（θ+φ），其中tanφ=(3)/(4)，
当sin（θ+φ）=1时|QA|²+|QC|²取最大值，当sin（θ+φ）=-1时|QA|²+|QC|²取最小值，
∴|QA|²+|QC|²的最大值、最小值分别为：53、13．