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以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,连接EB、FD,交点为G.(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1),EB和FD的数量关系是;(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2),EB
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以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,连接EB、FD,交点为G.
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1),EB和FD的数量关系是______;
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2),EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明;
(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中,∠EGD是否发生变化?如果改变,请说明理由;如果不变,请在图3中求出∠EGD的度数.
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1),EB和FD的数量关系是______;
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2),EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明;
(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中,∠EGD是否发生变化?如果改变,请说明理由;如果不变,请在图3中求出∠EGD的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)EB=FD,
理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,
∴AF=AE,∠FAB=∠EAD=60°,
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°,
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°,
∴∠FAD=∠BAE,
在△AFD和△ABE中,
,
∴△AFD≌△ABE,
∴EB=FD;
(2)EB=FD.
证:∵△AFB为等边三角形
∴AF=AB,∠FAB=60°
∵△ADE为等边三角形,
∴AD=AE,∠EAD=60°
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD,
即∠FAD=∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB=FD;
(3)
同(2)易证:△FAD≌△BAE,
∴∠AEB=∠ADF,
设∠AEB为x°,则∠ADF也为x°
于是有∠BED为(60-x)°,∠EDF为(60+x)°,
∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF
=180°-(60-x)°-(60+x)°
=60°.
理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,
∴AF=AE,∠FAB=∠EAD=60°,
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°,
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°,
∴∠FAD=∠BAE,
在△AFD和△ABE中,
|
∴△AFD≌△ABE,
∴EB=FD;
(2)EB=FD.
证:∵△AFB为等边三角形
∴AF=AB,∠FAB=60°
∵△ADE为等边三角形,
∴AD=AE,∠EAD=60°
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD,
即∠FAD=∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB=FD;
(3)
同(2)易证:△FAD≌△BAE,
∴∠AEB=∠ADF,
设∠AEB为x°,则∠ADF也为x°
于是有∠BED为(60-x)°,∠EDF为(60+x)°,
∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF
=180°-(60-x)°-(60+x)°
=60°.
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