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已知二次函数y=x2-2x+c(c为常数).(1)若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点,求c的取值范围;(2)已知该二次函数的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点为D
题目详情
已知二次函数y=x2-2x+c(c为常数).
(1)若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点,求c的取值范围;
(2)已知该二次函数的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点为D,若存在点P(m,0)(m>3)使得△CDP与△BDP面积相等,求m的值.
(1)若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点,求c的取值范围;
(2)已知该二次函数的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点为D,若存在点P(m,0)(m>3)使得△CDP与△BDP面积相等,求m的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可得,该二次函数与x轴有两个不同的交点,
也就是当y=0时,方程x2-2x+c=0有两个不相等的实数根,
即b2-4ac>0,所以4-4c>0,c<1.
又因为该二次函数与两个坐标轴有三个不同的交点,所以c≠0.
综上,若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点,c的取值范围为c<1且c≠0.
(2)因为点A(-1,0)在该二次函数图象上,可得0=(-1)2-2×(-1)+c,c=-3.
所以该二次函数的关系式为y=x2-2x-3,可得C(0,-3).
由x=-
=1,可得B(3,0),D(1,-4).
若点P(m,0)(m>3)使得△CDP与△BDP面积相等,
可得点C、B到DP的距离相等,此时,CB∥DP.
设过点C、B的直线的函数关系式为y=kx+b,即
解得
设过点D、P的直线的函数关系式为y=x+n,即-4=1+n,解得n=-5.
即y=x-5,当y=0时,x=5,即m=5.
也就是当y=0时,方程x2-2x+c=0有两个不相等的实数根,
即b2-4ac>0,所以4-4c>0,c<1.
又因为该二次函数与两个坐标轴有三个不同的交点,所以c≠0.
综上,若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点,c的取值范围为c<1且c≠0.
(2)因为点A(-1,0)在该二次函数图象上,可得0=(-1)2-2×(-1)+c,c=-3.
所以该二次函数的关系式为y=x2-2x-3,可得C(0,-3).
由x=-
b |
2a |
若点P(m,0)(m>3)使得△CDP与△BDP面积相等,
可得点C、B到DP的距离相等,此时,CB∥DP.
设过点C、B的直线的函数关系式为y=kx+b,即
|
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设过点D、P的直线的函数关系式为y=x+n,即-4=1+n,解得n=-5.
即y=x-5,当y=0时,x=5,即m=5.
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