中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．

Question

中心在原点，一个焦点为F₁（0，√(50)）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为(1)/(2)，求椭圆的方程．

Answer 1

设椭圆的标准方程为(y2)/(a2)+(x2)/(b2)=1（a＞b＞0），由F₁（0，√(50)）得a²-b²=50．
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
设弦的两个端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系得x₁+x₂=(12b2)/(a2+9b2)，
又AB的中点的横坐标为(1)/(2)，∴(x1+x2)/(2)=(6b2)/(a2+9b2)=(1)/(2)，
∴a²=3b²，与方程a²-b²=50联立可解出a²=75，b²=25．
故椭圆的方程为(y2)/(75)+(x2)/(25)=1．