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P是椭圆x∧2/27+y∧2/16=1上的点P到直线4x+3y-25=0的距离最小值为
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P是椭圆x∧2/27+y∧2/16=1上的点P到直线4x+3y-25=0的距离最小值为
▼优质解答
答案和解析
【法1】(同一楼)
析: 要使距离最小,就是与直线4x+3y-25=0平行,且与椭圆相切的直线(有两条).
切点离4x+3y-25=0最远或最近.
设直线方程为,4x+3y+m=0,与椭圆相切,代入椭圆方程x²/27+y²/16=1,得:
64x²+24mx+3m²-432=0
∵△=0,解出m²=4×144,即m=±24
切线为:4x+3y±24=0,
最小值为:直线4x+3y-24=0与直线4x+3y-25=0的距离:d=1/5
【法2】设动点P(3√3cosθ ,4sinθ )……(参数方程)
∴d=|12√3cosθ +12sinθ-25|/5
=|24sin(θ+60°)-25|/5
=[25-24sin(θ+60°)]/5…………(∵24sin(θ+60°)≦25)
=5-24sin(θ+60°)/5
≥5-24/5
=1/5
当且仅当sin(θ+60°)=1,即P(9/2 ,2 )时取得最值.
析: 要使距离最小,就是与直线4x+3y-25=0平行,且与椭圆相切的直线(有两条).
切点离4x+3y-25=0最远或最近.
设直线方程为,4x+3y+m=0,与椭圆相切,代入椭圆方程x²/27+y²/16=1,得:
64x²+24mx+3m²-432=0
∵△=0,解出m²=4×144,即m=±24
切线为:4x+3y±24=0,
最小值为:直线4x+3y-24=0与直线4x+3y-25=0的距离:d=1/5
【法2】设动点P(3√3cosθ ,4sinθ )……(参数方程)
∴d=|12√3cosθ +12sinθ-25|/5
=|24sin(θ+60°)-25|/5
=[25-24sin(θ+60°)]/5…………(∵24sin(θ+60°)≦25)
=5-24sin(θ+60°)/5
≥5-24/5
=1/5
当且仅当sin(θ+60°)=1,即P(9/2 ,2 )时取得最值.
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