2、如图,直角梯形ABCD中∠DAB=90°,AD//BC,AB=2,AD=3/2,BC=1/2椭圆C以A、B为焦点且经过点D.⑴、建立适当坐标系,求椭圆C的方程.⑵（文）是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点,且线段MN的中点为C,若存在,求

Question

2、如图,直角梯形ABCD中∠DAB=90°,AD//BC,AB=2,AD=3/2,BC=1/2椭圆C以A、B为焦点且经过点D.
⑴、建立适当坐标系,求椭圆C的方程.
⑵（文）是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点,且线段MN的中点为C,若存在,求l与直线AB的夹角,若不存在,说明理由.
（理）若点E满足,问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且│ME│=│NE│,若存在,求出直线l与AB夹角的范围,若不存在,说明理由.
（理）若点E满足向量EC＝1/2AB

Answer 1

（1）以AB所在直线为X轴,AB中心为原点,以ad方向为y 轴正方向 .
则c=1,a=(AD＋BD）／2＝5／4
则b=3/4很容易得出方程
（2）（文）设MN点坐标分别为（x1,y1）（x2,y2）
代入椭圆方程联立即得直线的斜率
k=[-9(x1+x2)/(y1+y2)](9/25)
x1+x2=-2,y1+y2=1
然后就出来了,代入椭圆方程验证△正负即得出 答案
（理）可知E点为（0,1/2）
∵EM＝EN
∴M,N在以E为圆心的圆上.
可写出圆的方程,设r为半径.第一问椭圆方程与圆方程联立,消去x得出y的二次方程.
可得y1+y2＝-3
分别设M,N坐标为（x1,y1）,（x2,y2）代入椭圆方程,再相减,得k＝（y1-y2）/（x1-x2）＝
3（x1+x2）/4（y1+y2）＝-（x1+x2）/4
∵x1+x2∈[-4,4]
∴k∈[-1,0）∪（0,1]
∴直线l与AB夹角θ∈（0,∏/4]