设P是椭圆x2a2+y2=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．

Question

设P是椭圆(x2)/(a2)+y2=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．

Answer 1

由已知得到P（0，1）或P（0，-1）
由于对称性，不妨取P（0，1）
设Q（x，y）是椭圆上的任一点，
则|PQ|=√(x2+(y-1)2)，①
又因为Q在椭圆上，
所以，x²=a²（1-y²），
|PQ|²=a²（1-y²）+y²-2y+1=（1-a²）y²-2y+1+a²
=（1-a²）（y-(1)/(1-a2)）²-(1)/(1-a2)+1+a²．②
因为|y|≤1，a＞1，若a≥√(2)，则|(1)/(1-a2)|≤1，
所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，
即当-1≤(1)/(1-a2)≤1时，
在y=(1)/(1-a2)时，|PQ|取最大值(a2√(a2-1))/(a2-1)；
如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解．
即当(1)/(1-a2)＜-1时，则当y=-1时，|PQ|取最大值2．