圆锥曲线在椭圆(a>0,b>0)上任取一点P(P不是短轴端点),P与短轴端点A1,A2的连线交x轴于M,N两点,求证丨OM‖ON丨为定值(O为原点).

Question

圆锥曲线
在椭圆(a>0,b>0)上任取一点P(P不是短轴端点),P与短轴端点A1,A2的连线交x轴于M,N两点,求证丨OM‖ON丨为定值(O为原点).

Answer 1

x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)
设P点坐标为(m,n)
短轴两端点坐标为A1(0,b）A2(0,-b）则
m^2/a^2+n^2/b^2=1 即(b^2m^2)/(a^2-n^2)=a^2
PA1的直线方程为
y-b=[(n-b)/(m-0)](x-0)
令y=0,则x=-bm/(n-b),即
M点坐标为(-bm/(n-b),0）
Pa2的直线方程为
y+b=[(n+b)/(m-0)](x-0)
令y=0,则x=bm/(n+b),即
N点坐标为(bm/(n+b),0）
|OM|*|ON|=|-bm/(n-b)|*|bm/(n+b)|=|(b^2m^2)/(a^2-n^2)|=a^2
|OM|*|ON|为定值a^2