过椭圆焦点的直线l交椭圆于M.N.A.B为长轴顶点.求证直线AM于直线BN的交点在准线上.

Question

过椭圆焦点的直线l交椭圆于M.N.A.B为长轴顶点.求证直线AM于直线BN的交点在准线上.

Answer 1

不妨设焦点为右焦点
首先如果l的斜率不存在,即l垂直于x轴,那么M,N的坐标可以求出是（c,b2/a）（c,-b2/a） A,B的坐标分别是（a,0）（-a,0）直线AM,BN就是y=b2(x-a)/(ac-a2),y=-b2(x+a)/(ac+a2)一联立可解出x=a2/c
如果斜率存在设为k ,直线l为y=k（x-c）与椭圆联立得(b2+a2k2)x2-2 (ca2k2)x+a2c2k2-a2b2=0由韦达定理可以表示出 x1+x2 ,x1*x2 ,进而还可以表示 x1-x2 接下来设M（x1.y1）N（x2.y2）则直线AM：y=y1(x-a)/(x1-a) BN:y=y2(x+a)/(x2+a)联立两直线得交点的横坐标为[a(x1y2+x2y1)+a2(yi-y2)]/[x2y1-x1y2+a(y1+y2)] 做的这里可能就做不下去了,但是不要忘了y1=k(x1-c) y2=k(x2-c)这个条件 把 y1 y2的这个表示式子代回去整理就只剩下x1+x2 ,x1*x2 ,x1-x2 了然后由韦达定理将他们用a,b,c,k表示代入就解出来了 具体的式子太麻烦了,不打了,看完你应该能做出来的