已知抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A，B两点，E的准线与x轴交于点C，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B．（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方

Question

已知抛物线E：y²=2px（p>0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A，B两点，E的准线与x轴交于点C，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B．
（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；
（Ⅱ）若斜率为k（|k|≥1）的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M，N两点，求

FM

•

FN

的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，F((p)/(2)，0)，A((p)/(2)，p)，B((p)/(2)，-p)，C(-(p)/(2)，0)，S△ABC=p2，（1分）
由p²=4得p=2，圆D半径R=2√(2)，（3分）
所以抛物线E：y²=4x，圆（x-3）²+y²=8．（4分）
（Ⅱ）设直线m：y=kx+b（|k|≥1），
则(|3k+b|)/(√(k2+1))=2√(2)，即k²+6kb+b²=8，①
联立y=kx+b与抛物线得ky²-4y+4b=0，△=16-16kb，（5分）
由①知kb≤1，即△≥0（6分）
所以方程ky²-4y+4b=0有两个实数根y₁，y₂，且y₁+y₂=(4)/(k)，y₁y₂=(4b)/(k)（7分）

FM

•

FN

=(1)/(16)[（y₁y₂）²-4（y₁+y₂）²+24y₁y₂+16]=(b2+6kb+2-4)/(k2)=(4)/(k2)（11分）
因为|k|≥1，所以

FM

•

FN

的取值范围是（0，4]．（12分）