细线下吊着一个静止的质量为m2的沙袋，构成一个单摆，摆长为l．一颗质量为m1的子弹水平射入沙袋并留在沙袋中，随沙袋一起摆动．已知沙袋摆动时摆线的最大偏角是θ，（不计空气阻力）

Question

细线下吊着一个静止的质量为m₂的沙袋，构成一个单摆，摆长为l．一颗质量为m₁的子弹水平射入沙袋并留在沙袋中，随沙袋一起摆动．已知沙袋摆动时摆线的最大偏角是θ，（不计空气阻力）求：
（1）子弹射入沙袋前的速度； 
（2）若设子弹射入沙袋前的速度为v₁，则整个过程中系统损失的机械能是多少？

Answer 1

（1）子弹射入沙袋后，与沙袋一起从最低位置摆至最高位置的过程中，机械能守恒．由机械能守恒定律可得：
(1)/(2)（m₁+m₂）v_共²=（m₁+m₂）gl（1-cosθ），解得：v_共=√(2gl(1−cosθ))；
子弹射入沙袋过程系统动量守恒，以 子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
m₁v₀=（m₁+m₂）v_共，
解得：v₀=((m1+m2)√(2gl(1−cosθ)))/(m1)；
（2）子弹射入沙袋过程系统动量守恒，以 子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
m₁v₁=（m₁+m₂）v_共，
由能量守恒定律的：△E=(1)/(2)m₁v₁²-(1)/(2)（m₁+m₂）v_共²，
解得：△E=(1)/(2)m₁v₁²-(m21v21)/(2(m1+m2))；
答：（1）子弹射入沙袋前的速度为：((m1+m2)√(2gl(1−cosθ)))/(m1)； 
（2）若设子弹射入沙袋前的速度为v₁，则整个过程中系统损失的机械能为：(1)/(2)m₁v₁²-(m21v21)/(2(m1+m2))．