在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C为ρ=4cosθ+2sinθ．曲线C上的任意一点的直角坐标为（x，y），求x-y的取值范围．

Question

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C为ρ=4cosθ+2sinθ．曲线C上的任意一点的直角坐标为（x，y），求x-y的取值范围．

Answer 1

曲线C为ρ=4cosθ+2sinθ，即ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4x+2y，配方为：（x-2）²+（y-1）²=5．
令x=2+√(5)cosα，y=1+√(5)sinα．
则x-y=2+√(5)cosα-（1+√(5)sinα）=1+√(5)（cosα-sinα）=1+√(10)sin((π)/(4)-α)∈[1-√(10)，1+√(10)]．
∴x-y的取值范围为[1-√(10)，1+√(10)]．