在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+2cosαy=2sinα（α为参数），曲线C2的参数方程为x=2cosβy=2+2sinβ（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2

Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2+2cosα

y=2sinα

（α为参数），曲线C₂的参数方程为

x=2cosβ

y=2+2sinβ

（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁和曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线l₁：θ=α（0<α<(π)/(2)），将射线l₁顺时针旋转(π)/(6)得到射线l₂：θ=α-(π)/(6)，且射线l₁与曲线C₁交于O、P两点，射线l₂与曲线C₂交于O、Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

（1）曲线C₁的参数方程为

x=2+2cosα

y=2sinα

（α为参数），
利用平方关系消去参数可得：曲线C₁的普通方程为（x-2）²+y²=4，展开可得：x²+y²-4x=0，
利用互化公式可得：ρ²-4ρcosθ=0，
∴C₁极坐标方程为ρ=4cosθ．
曲线C₂的参数方程为

x=2cosβ

y=2+2sinβ

（β为参数），消去参数可得：
曲线C₂的普通方程为x²+（y-2）²=4，
展开利用互化公式可得C₂极坐标方程为ρ=4sinθ．
（2）设点P极点坐标（ρ₁，4cosα），即ρ₁=4cosα．
点Q极坐标为(ρ2，4sin(α-(π)/(6)))，即ρ2=4sin(α-(π)/(6))．
则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4cosα•4sin(α-(π)/(6))=16cosα•((√(3))/(2)sinα-(1)/(2)cosα)=8sin(2α-(π)/(6))-4．
∵α∈(0，(π)/(2))，
∴2α-(π)/(6)∈(-(π)/(6)，(5π)/(6))，
当2α-(π)/(6)=(π)/(2)，即α=(π)/(3)时，|OP|•|OQ|取最大值4．