在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p2=1449+7sin2θ，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别

Question

在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p²=(144)/(9+7sin2θ)，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ²=(144)/(9+7sin2θ)，
∴9ρ²+7ρ²sin²θ=144，
由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，
可得曲线C的直角坐标方程为9x²+9y²+7y²=144．
即曲线C的直角坐标方程为(x2)/(16)+(y2)/(9)=1．…（5分）
（Ⅱ）∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，
∴A（4，0），B（0，3），∴直线AB的方程为3x+4y-12=0，
设P（4cosθ，3sinθ），则P到直线AB的距离为：
d=(|12cosθ+12sinθ-12|)/(5)=(|12√(2)sin(θ+(π)/(4))-12|)/(5)，
当θ=(5π)/(4)时，d_max=(|12√(2)+12|)/(5)，
∴△ABP面积的最大值为(1)/(2)×|AB|×(|12√(2)+12|)/(5)=6（√(2)+1）．…（10分）