如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在

Question

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB ∥ CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC ∥ 平面FBD？若存在，求出 (EF)/(EA) ；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．
因为EB=EA，所以EO⊥AB．…（1分）
因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…（2分）
因为EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD．…（3分）
因为ED⊂平面EOD
所以AB⊥ED．…（4分）
（Ⅱ）因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．…（5分）
因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以

EC

=(1，1，-1) ，平面ABE的一个法向量为

OD

=(0，1，0) ．…（7分）
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以 sinθ=|cos〈

EC

，

OD

＞|=(|EC•OD|)/(|EC||OD|) =(3)/(3) ，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 (3)/(3) ．…（9分）
（Ⅲ）存在点F，且 (EF)/(EA) =(1)/(3) 时，有EC ∥ 平面FBD．…（10分）
证明如下：由

EF

=(1)/(3)

EA

=(-(1)/(3) ，0，-(1)/(3) ) ， F(-(1)/(3) ，0，(2)/(3) ) ，所以

FB

=((4)/(3) ，0，-(2)/(3) ) ．
设平面FBD的法向量为

v

=（a，b，c），则有

v

•

BD

=0

v

•

FB

=0

所以

-a+b=0

(4)/(3) a-(2)/(3) z=0.

取a=1，得

v

=（1，1，2）．…（12分）
因为

EC

•

v

=（1，1，-1）•（1，1，2）=0，且EC⊄平面FBD，所以EC ∥ 平面FBD．
即点F满足 (EF)/(EA) =(1)/(3) 时，有EC ∥ 平面FBD．…（14分）