如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．

Answer 1

证明：（1）取PD的中点G，连接AG，FG．
∵F，G分别是PC，PD的中点，
∴GF∥DC，GF=(1)/(2)DC，
又E是AB的中点，
∴AE∥DC，且AE=(1)/(2)DC，
∴GF∥AE，且GF=AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，故EF∥AG．
又EF⊂平面PAD，AG⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）∵PD⊥底面ABCD，EC⊂底面ABCD，
∴CE⊥PD．
∵四边形ABCD是矩形，AB=2AD，
∴DE=√(2)AD，CE=√(2)AD，CD=2AD，
∴DE²+CE²=CD²，即CE⊥DE，
又PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，PD∩DE=D，
∴CE⊥平面PDE．
∵CE⊂平面PEC，
∴平面PDE⊥平面PEC．