如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为．

Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的中点，则直线AD与平面B₁DC所成角的正弦值为______．

Answer 1

如图，连接B₁D易证B₁D⊥平面AC₁，过A点作AG⊥CD，
则由B₁D⊥平面AC₁，得AG⊥B₁D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B₁DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B₁DC所成角，
由已知，不妨令棱长为2，则可得AD=√(5)=CD，
由等面积法算得AG=(AC×AA1)/(CD)=(4√(5))/(5)
所以直线AD与面DCB₁的正弦值为(4)/(5)；
故答案为(4)/(5)．