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半径为1的球O内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是.
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半径为1的球O内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是___.
▼优质解答
答案和解析
如图所示,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_68a1e0983a6a2015a7ed85fda730894e.jpg)
设球心为O点,上下底面的中心分别为O1,O2.
设正三棱柱的底面边长与高分别为x,h.
则O2A=
x,
在Rt△OAO2中,
+
x2=1,
化为h2=4-
x2.
∵S侧=3xh,
∴S侧2=9x2h2=12x2(3-x2)≤12(
)2=36.
当且仅当x=
时取等号,S侧=6.
∴球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π-6,
故答案为:4π-6.
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_68a1e0983a6a2015a7ed85fda730894e.jpg)
设球心为O点,上下底面的中心分别为O1,O2.
设正三棱柱的底面边长与高分别为x,h.
则O2A=
| ||
3 |
在Rt△OAO2中,
h2 |
4 |
1 |
3 |
化为h2=4-
4 |
3 |
∵S侧=3xh,
∴S侧2=9x2h2=12x2(3-x2)≤12(
x2+3-x2 |
2 |
当且仅当x=
| ||
2 |
∴球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π-6,
故答案为:4π-6.
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