在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E、F分别是A1C1，BC的中点．（1）证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；（2）证明：C1F∥平面ABE；（3）设P是BE的中点，求三棱锥P-B1C1F的体积．

Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁，BC的中点．

（1）证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
（2）证明：C₁F∥平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，∴AB＝2√(3)，∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．   由已知AB⊥BB₁，∴AB⊥面BB₁C₁C，又∵AB⊂面ABE，故ABE⊥面BB₁C₁C．
（2）证明：取AC的中点M，连接C₁M，FM，在△ABC中，FM∥AB，∴直线FM∥面ABE．
在矩形ACC₁A₁中，E、M都是中点，∴C₁M∥AE，∴直线C₁M∥面ABE，
又∵C₁M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC₁，故C₁F∥面AEB．
（3）在棱AC上取中点G，连接EG、BG，在BG上取中点O，
连接PO，则PO∥BB₁，∴点P到面BB₁C₁C的距离等于点O到平面BB₁C₁C的距离．
过O作OH∥AB交BC与H，则OH⊥平面BB₁C₁C，在等边△BCG中，可知CO⊥BG，
∴BO=1，在Rt△BOC中，可得 OH＝(√(3))/(2)，∴VP−B1C1F＝(√(3))/(3)．