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正三棱锥A-BCD底面边长为a,侧棱长为2a,E、F分别为AC,AD上的动点,求截面△BEF周长的最小值和这时E、F的位置.
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正三棱锥A-BCD底面边长为a,侧棱长为2a,E、F分别为AC,AD上的动点,求截面△BEF周长的最小值和这时E、F的位置.
▼优质解答
答案和解析
把正三棱锥A-BCD的侧面展开,两点间的连接线BB'即是截面周长的最小值.
∵BB′∥CD,
∴△ADB′∽△B′FD,
∴DF/DB’=DB’/AD
其中AD=2a,DB’=a.
∴DF=
a
又△AEF∽△ACD,
∴EF/CD=AF/AD,其中CD=a,AD=2a,AF=2a-
a=
a,
∴EF=
a,
∴截面周长最小值是BB’=2a+
a=
a,E、F两点分别满足AE=AF=
a.
∵BB′∥CD,
∴△ADB′∽△B′FD,
∴DF/DB’=DB’/AD
其中AD=2a,DB’=a.
∴DF=
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又△AEF∽△ACD,
∴EF/CD=AF/AD,其中CD=a,AD=2a,AF=2a-
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∴EF=
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∴截面周长最小值是BB’=2a+
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