（2008•天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60°．（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．

Question

（2008•天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2√(2)，∠PAB=60°．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2√(2)，
可得PA²+AD²=PD²于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．

（Ⅱ）由题设，BC∥AD，
所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得
PB=√(PA2+AB2−2PA•AB•cosPAB)＝√(7)
由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=(PB)/(BC)＝(√(7))/(2)．
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan(√(7))/(2)．

（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE
因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．
由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由题设可得，
PH=PA•sin60°=√(3)，AH=PA•cos60°=1，
BH=AB-AH=2，BD=√(AB2+AD2)＝√(13)，
HE=(AD)/(BD)•BH＝(4)/(√(13))
于是再RT△PHE中，tanPEH=(√(39))/(4)
所以二面角P-BD-A的大小为arctan(√(39))/(4)．