正三棱台的上、下底边长为2和4．（Ⅰ）若该正三棱台的高为1，求此三棱台的侧面积（Ⅱ）若侧面与底面所成的角是60°，求此三棱台的体积；参考公式：台体的体积公式V台体=13h(S+SS′+S′)

Question

正三棱台的上、下底边长为2和4．
（Ⅰ）若该正三棱台的高为 1，求此三棱台的侧面积
（Ⅱ）若侧面与底面所成的角是60°，求此三棱台的体积；
参考公式：台体的体积公式V_台体=(1)/(3)h(S+√(SS′)+S′)．

Answer 1

（Ⅰ）取A₁B₁，AB中点D₁，D，O₁，O分别为△A₁B₁C₁，△ABC的中心，过D₁作D₁M⊥DC，则D₁C₁=√(3)，DC=2 √(3)，从而D₁O₁=(√(3))/(3)，DO=(2√(3))/(3)，
∴DM=(√(3))/(3)，
∵D₁M=1，∴D₁D=(2√(3))/(3)
∴S_侧=3×((2+4)×(2√(3))/(3))/(2)=6 √(3)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在直角△D₁DM中，∠D₁DM=60°，即侧面与底面所成的角，故台体的高为1，
∵正三棱台的上、下底边长为2和4
∴S_△A1B1C1=√(3)，S_△ABC=4 √(3)
∴V_台=(1)/(3)×1×（√(3)+√(√(3)×4√(3))+4√(3)）=(7√(3))/(3)．